Problema:
Encontrar el tamaño de los muros que permita obtener la mayor área en m², o en otras palabras, encontrar el tamaño de los muros que permita tener una oficina más grande. Sólo se pueden construir 50 metros de muro.
Desarrollo:
Para calcular el área se usar la fórmula super conocida:
Para calcular el perímetro hay que sumar cada lado. En este ejemplo el perímetro total son los 50 metros de muro que se pueden construir:
A partir del punto anterior se puede despejar :
Con esto ya se puede sustituir en la ecuación del área:
Ahora que ya se tiene el área expresada en función de se puede convertir esto en una función, es precisamente este función la que se va a optimizar.
Para optimizar la función anterior y encontrar el valor máximo se usa la derivada:
⬆ Para encontrar el punto en que la pendiente es igual a cero (el máximo y el mínimo) hay que igualar la derivada a cero
Para encontrar cuando la ecuación anterior se vuelve cero hay que despejar .
Ahora hay que corroborar que sea el valor máximo, esto normalmente se hace usando el teorema de la primera/segunda derivada, pero en este ejemplo se va usar un método más sencillo y intuitivo para principiantes y es evaluar la derivada en un valor cercano a la derecha y a la izquierda, el valor de la izquierda debe ser positivo y el de la derecha negativo para que sea el valor máximo.
Ahora que ya se tiene el valor de sólo hay que sustituirlo en la ecuación de para encontrar el valor de esta última variable:
Ya con eso sabemos que para obtener el área más grande en las oficinas usando sólo los 50 metros de muro disponibles los muros deben ser de 12.5m y 25m.