Clase 20. ¿Cómo optimizar una función?
Problema:
Encontrar el tamaño de los muros que permita obtener la mayor área en m², o en otras palabras, encontrar el tamaño de los muros que permita tener una oficina más grande. Sólo se pueden construir 50 metros de muro.
Desarrollo:
Para calcular el área se usar la fórmula super conocida: A=xy
Para calcular el perímetro hay que sumar cada lado. En este ejemplo el perímetro total son los 50 metros de muro que se pueden construir: x+y+x=50=2x+y=5
A partir del punto anterior se puede despejar y:
y=50−2xCon esto ya se puede sustituir y en la ecuación del área:
A=x(50−2x)=50x−2x2Ahora que ya se tiene el área expresada en función de x se puede convertir esto en una función, es precisamente este función la que se va a optimizar.
A(x)=50x−2x2Para optimizar la función anterior y encontrar el valor máximo se usa la derivada:
A′(x)=50−4x=0⬆ Para encontrar el punto en que la pendiente es igual a cero (el máximo y el mínimo) hay que igualar la derivada a cero
Para encontrar cuando la ecuación anterior se vuelve cero hay que despejar x.
x=−50−4=252=12.5Ahora hay que corroborar que 12.5 sea el valor máximo, esto normalmente se hace usando el teorema de la primera/segunda derivada, pero en este ejemplo se va usar un método más sencillo y intuitivo para principiantes y es evaluar la derivada en un valor cercano a la derecha y a la izquierda, el valor de la izquierda debe ser positivo y el de la derecha negativo para que 12.5 sea el valor máximo.
A′(x=12.45)=50−4(12.45)=15A′(x=12.55)=50−4(12.55)=−15Ahora que ya se tiene el valor de x sólo hay que sustituirlo en la ecuación de y para encontrar el valor de esta última variable:
y=50−2(12.5)=25Ya con eso sabemos que para obtener el área más grande en las oficinas usando sólo los 50 metros de muro disponibles los muros deben ser de 12.5m y 25m.
