Clase 20. ¿Cómo optimizar una función?

Problema:

Encontrar el tamaño de los muros que permita obtener la mayor área en m², o en otras palabras, encontrar el tamaño de los muros que permita tener una oficina más grande. Sólo se pueden construir 50 metros de muro.

Desarrollo:

Para calcular el área se usar la fórmula super conocida: $A=xy$

Para calcular el perímetro hay que sumar cada lado. En este ejemplo el perímetro total son los 50 metros de muro que se pueden construir: $x+y+x=50=2x+y=5$

A partir del punto anterior se puede despejar $y$:

$$y=50-2x$$

Con esto ya se puede sustituir $y$ en la ecuación del área:

$$A=x(50-2x)=50x-2x^2$$

Ahora que ya se tiene el área expresada en función de $x$ se puede convertir esto en una función, es precisamente este función la que se va a optimizar.

$$A\left(x\right)=50x-2x^2$$

Para optimizar la función anterior y encontrar el valor máximo se usa la derivada:

$$A^{\prime }\left(x\right)=50-4x=0$$

⬆ Para encontrar el punto en que la pendiente es igual a cero (el máximo y el mínimo) hay que igualar la derivada a cero

Para encontrar cuando la ecuación anterior se vuelve cero hay que despejar $x$.

$$x=\frac{-50}{-4}=\frac{25}{2}=12.5$$

Ahora hay que corroborar que $12.5$ sea el valor máximo, esto normalmente se hace usando el teorema de la primera/segunda derivada, pero en este ejemplo se va usar un método más sencillo y intuitivo para principiantes y es evaluar la derivada en un valor cercano a la derecha y a la izquierda, el valor de la izquierda debe ser positivo y el de la derecha negativo para que $12.5$ sea el valor máximo.

$$A^{\prime }(x=12.45)=50-4\left(12.45\right)=\frac{1}{5}$$$$A^{\prime }(x=12.55)=50-4\left(12.55\right)=-\frac{1}{5}$$

Ahora que ya se tiene el valor de $x$ sólo hay que sustituirlo en la ecuación de $y$ para encontrar el valor de esta última variable:

$$y=50-2\left(12.5\right)=25$$

Ya con eso sabemos que para obtener el área más grande en las oficinas usando sólo los 50 metros de muro disponibles los muros deben ser de 12.5m y 25m.